Ideal (環)
$ (R,+,\cdot,0,1)を環として、$ Rの部分集合$ I\subseteq Rが、 左
$ \forall x_{\in R},a_{\in I}(x\cdot a\in I)つまり$ xI=Iであれば左 Ideal (環) と言ふ 右
$ \forall x_{\in R},a_{\in I}(a\cdot x\in I)つまり$ Ix=Iであれば右 Ideal (環) と言ふ 兩側
群の剩餘類に對應する
商$ R/\simはまた環を成す。これを剩餘環 (factor ring。商環 (quotient ring)) と言ひ$ R/Iと書く 環$ (R,+,\cdot,0,1)の 兩側 Ideal$ I\sub R,$ \forall a_{\in R}(a\cdot I\sube I\land I\cdot a\sube I),$ (I,+,0)は群 主 Ideal (單項 Ideal)
左主 Ideal は$ Ra:=\{x\cdot a|x\in R\}
右主 Ideal は$ aR:=\{a\cdot x|x\in R\}
兩側主 Ideal は$ RaR:=\{x\cdot a\cdot x|x\in R\}
可換とは限らない環$ RのIdeal (環)$ P\subset Rが素 Ideal であるとは、任意の Ideal (環)$ A,B\subseteq Rに對して、$ A\cdot B\subseteq Pならば$ A\subseteq Pまたは$ B\subseteq Pである事を言ふ 可換環$ RのIdeal (環)$ P\subset Rが素 Ideal であるとは、任意の元$ a,b_{\in R}に對して、$ a\cdot b\in Pならば$ a\in Pまたは$ b\in Pである事を言ふ $ {\rm Spec}(\Z)
可換環$ Rの spectrum (環)$ {\rm Spec}(R)に於いて、$ I_{\subseteq R}を任意の Ideal (環)として、$ V(I):=\{P|P\in{\rm Spec}(R),I\subseteq P\}を Зари́сского 閉集合と呼ぶ。これを閉集合系として$ {\rm Spec}(R)に位相を定める 根基 (radical)
可換環$ Rの Ideal (環)$ Iについて、$ \sqrt I:=\{r|r\in R,\exist n_{\in\N^+}(r^n\in I)\}を根基と呼ぶ $ I\subseteq\sqrt I
$ I=\sqrt Iであれば根基 Ideal (半素 Ideal。被約 Ideal) と呼ぶ
$ \sqrt 0\subseteq J(R)