Ideal (環)
$ (R,+,\cdot,0,1)を環として、$ Rの部分集合$ I\subseteq Rが、 加法群$ (R,+,0)の部分群であり、
$ \forall x_{\in R},a_{\in I}(x\cdot a\in I)であれば左 Ideal (環) と言ふ $ \forall x_{\in R},a_{\in I}(a\cdot x\in I)であれば右 Ideal (環) と言ふ 商$ R/\simはまた環を成す。これを剩餘環 (商環) と言ひ$ R/Iと書く 環$ (R,+,\cdot,0,1)の 兩側 Ideal$ I\sub R,$ \forall a_{\in R}(a\cdot I\sube I\land I\cdot a\sube I),$ (I,+,0)は群 主 Ideal (單項 Ideal)
左主 Ideal は$ Ra:=\{x\cdot a|x\in R\}
右主 Ideal は$ aR:=\{a\cdot x|x\in R\}
兩側主 Ideal は$ RaR:=\{x\cdot a\cdot x|x\in R\}
素 Ideal
環$ RのIdeal (環)$ I\subset Rが素 Ideal であるとは、任意の Ideal (環)$ A,B\subseteq Rに對して、$ A\cdot B\subseteq Iならば$ A\subseteq Iまたは$ B\subseteq Iである事を言ふ 可換環に於いては、環$ RのIdeal (環)$ I\subset Rが素 Ideal であるとは、任意の元$ a,b_{\in R}に對して、$ a\cdot b\in Iならば$ a\in Iまたは$ b\in Iである事を言ふ 根基 (radical)